ANGULO DE REFERENCIA

Se le llama Angulo de Referencia al angulo agudo que forma el lado terminal de un angulo 0 en posicion normal con eje X de un sistema de coordenadas. El Angulo de referencia se representa con 0r.

http://prepafacil.com/cobach/Main/AnguloDeReferencia

Segun el cuadrante donde esta el lado terminal de un angulo en posicion normal, la medida de su angulo de referencia esta dada por:

0r =0                                                si                                      0° < 0 < 90°
0r = 180° - 0                                    si                                      90° < 0 < 180°
0r = 0 - 180°                                    si                                      180° < 0 < 270°
0r =360- 0                                        si                                      270° < 0 < 360°

Para hallar el angulo de referencia en caso de que 0 sea mayor que 360, se le restan multiplos de 360° hasta reducirlo a un angulo comprendido  entre 0° y 360°.

Angulos Coterminales

Se les llama angulos coterminales los que estan en poscicion normal y cuyos lados terminales coinciden.



http://roman-math.webnode.es/angulos-en-posicion-normal/



http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/unit_circle/unit_circle.html

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS DE CUALQUIER MEDIDA

Las Funciones Trigonometricas pueden generalizarse para cualquier angulo que este poscicion normal o estandar en el Plano Cartesiano. Esto sucede cuando su vertice se ubica en el origen de ese sistema, uno de sus lados, el inicial, coincide con el eje X y el otro lado denominado terminal, rota en el plano hasta alcanzar su posicion final.


http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/unit_circle/unit_circle.html

SIGNOS DE LOS VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
El signo de una funcion trigonometrica para un angulo en poscicion normal depende del cuadrante en que se situe su lado terminal, debido a que ambas coordenadas del punto pueden ser negativas.

http://roman-math.webnode.es/angulos-en-posicion-normal/

RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS

Resolver un Triangulo rectangulo consiste en determinar la medida de sus angulos agudos y la longitud de sus tres lados. Para ello se requiere conocer dos de sus elementos, ademas del angulo recto; uno debe ser la longitud de uno de sus lados.
Como veremos, tal resolucion puede efectuarse utilizando las formulas de las razones trigonometricas que acabamos de revisar para determinar la medida de los angulos agudos del triangulo.

*Resolver el Siguiente Triangulo Rectangulo.

Solucion

En la Resolucion de este Triangulo pueden emplearse las formulas de: 

Cabe señalar que no se puede utilizar la razon de TanA = a/b porque se desconoce el valor de a y b en consecuencia:

De donde:

Asimismo:

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA UNITARIA

DEFINICION DE CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA UNITARIA:
Se llama circunferencia trigonometrica Unitaria aquella cuyo centro coincide con el origen de un sistema de coordenadas ractangulares y cuyo radio tiene una longitud igual a la unidad.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA

Para el cuadrante I:                                                     

senΘ= BD                                                                      
cosΘ=OD                                                                    
tanΘ=AF                                                                        
cot=ΘCE
sec=ΘOF
cosec=ΘOE

Para el cuadrante II:
sen AOB= BD
cos AOB= -OD
tan AOB=AF
cot AOB= -CE
secAOB=OF
cosec AOB=OE

Para el cuadrante III:
sen AOB=BD
cos AOB=-OD
tan AOB=-AF
cotAOB=CE
sec AOB=-OF
cosec AOB = -OE

Para el cuadrante IV:
sen AOB=-BD
cos AOB=OD
tan AOB=-AF
cotAOB=-CE
sec AOB=OF
cosec AOB = -OE

RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS

Por medio de las razones trigonometricas es posible establecer determinadas relaciones entre los lados y los angulos de un triangulo cualquiera. Esas Relaciones se utilizan para resolver triangulos oblicuangulos y se expresan mediante las dos Leyes siguientes:

• Ley de Cosenos
• Ley de Senos

LEY DE COSENOS:

El cuadrado de la Longitud de un lado de un triangulo es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los otros dos lados, menos el doble de producto de la longitud  de dichos lados, por el coseno del angulo que estos lados forman.

c² = a²  + b² = 2ab cos C

 

LEY DE SENOS

Las longitudes de los lados de un triangulo son proporcionales a los senos de los angulos opuestos. Si a, b, y c son las longitudes de los lados de un triangulo cualquiera y A, B y C son, respectivamente, los angulos que se oponen a dichos lados, entonces se tiene la relacion de la ley de los senos.

http://felancho22.blogspot.mx/2011/07/ley-de-los-senos-y-cosenos10.html

 

 

 

El caso ambiguo

Si dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos es dado, tres posibilidades pueden ocurrir.
(1) No existe tal triángulo.
(2) Dos triángulos diferentes existen.
(3) Exactamente un triángulo existe.
Considere un triángulo en el cual se le da a, b y A. (La altitud h del vértice B al lado , por la definición de los senos es igual a b sin A.)
(1) No existe tal triángulo si A es agudo y a < h o A es obtuso y a ≤ b.

(2) Dos triángulos diferentes existen si A es agudo y h < a < b.

(3) En cualquier otro caso, exactamente un triángulo existe.


http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-sines.html

RAZONES TRIGONOMETRICAS

RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA UN ANGULO AGUDO DE UN TRIANGULO RECTANGULO

Se define trigonometria como la rama de las matematicas que estudia relaciones entre los lados y los angulo de un triangulo. 

http://www.ceibal.edu.uy/userfiles/P0001/ObjetoAprendizaje/HTML/Razones%20trigonometricas%20para%20que%20me%20sirven_Silvana%20Realini_S.elp/razones_trigonomtricas.html

Para cualquiera de los angulos agudos de un triangulo rectangulo se tienen las definiciones siguientes.
Razones Trigonometricas:

http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?ID=133266


VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS NOTABLES

• Razones Trigonometricas para angulos de 30°, 45° y 60°

 

 

 

CUENTO DE MATEMATICAS 2

LOS NUEVOS COMPAÑEROS
En la Preparatoria 2 de Octubre de 1968 Extensíon Tepeaca ingresaron unos alumnos muy paticulares, sus nombres eran, Angulo, Triangulo, Radia, Circunferencia, Poligono y Cudrilatero eran hermanos, Poligono era el hermano Mayor.
La mayoría de ellos ya se conocian de tiempo atrás y congeniaban muy bien, solo hubo un pequeño problema, les toco en grupos diferentes, ho les gusto para nada la idea, ya que en el grupo "A" estaban Angulo, Triangulo, Poligono y Cuadrilatero. Angulo y Triangulo se llevaban muy bien ya que la suma de los ngulos interiores de un triangulo es igual a un angulo llano que es de 180°. Poligono y Cuadrilatero no se quedaban atras con su buena amistad ya que a  pesar de que tenian peleas como cualquier par de hermanos siempre resolvian sus diferencias y salian juntos adelante y como sabemos un Poligono es una figura cerrada y plana formada por segmentos de recta y un cuadrilatero es un poligono de cuatro lados y cuatro angulos ( De ahi que sean familiares ).
Mientras que en el Grupo "B"estaban Radian y Circunferencia lo que es curioso ya que los radianes los encontramos dentro de una circunferencia, como sabemos 2tt Radian son los que se encuentran en una Circunferencia.
Los primeros dias fueron dificiles ya que no se sentian a gusto en sus respectivos grupos, asi que  Radian y Circunferencia hicieron hasta lo imposible para que los trasladaran al grupo "B", finalmente lo lograron y comenzaron las clases normales ya siendo compañeros.
Estos 6 hermanos no podian estar sentados juntos,ya que si lo estaban siempre platicaban y por lo tanto ni ellos, como sus otros compañeros ponian atencion, debido a este problema los profesores decidieron cambiarlos de Lugar, las cosas se calmaron un poco pero aun asi las cosas no funcionaban ya que como estaban a distancia aprovechaban para lanzarse varias cosas, el mejor para hacerlo era Angulo ya que solo debia saber si su victima formaba un angulo recto de 90°, un angulo agudo que es menor de 90° o un angulo obtuso que es mayor de 90° y menor de 180°, debido a que una vez golpearon por error  a una compañera hablaron muy seriamente con ellos y les advirtieron que no podian seguir con ese comportamiento, ese dia se sintieron muy mal, Circunferencia para desestresarse se pueso a rodar por todos lados, Triangulo lo intento pero no pudo y se sintio muy triste pero cuando cuadrilatero lo noto de inmediato fue a hablar con triangulo y le dijo
- Animo amigo no te sientas mal, circunferencia puede rodar ya que su unico angulo mide 360° y tus tres angulos interiores sumados son 180°.
A lo que triangulo respondio:
-Pero cuadrilatero las suma de tus angulos interiores es de 360° ¿Porque tu tampoco puedes rodar?
-Es muy fácil triangulo, el único angulo de circunferencia mide 360°, mientras que yo tengo cuatro angulos y sin importar que sumados sean 360°, no puedo rodar porque son cuatro y el de Circunferencia solo es uno

Despues de esta advertencia se tranquilizaron las cosas por unas cuantas semanas, despues de un determinado tiempo los profesores se volvieron a quejar de que ellos no dejaban concentrar a sus compañeros y no trabajaban, solo jugaban, a consecuencia ellos los hicieron firmar una carta compromiso, la cual resaltaba principalmente que se comprometian a trabajar durante clase, hacer sus tareas para entregarlas en tiempo y forma y por supuesto, estar separados durante la clase para evitar que siguieran con las distracciones; al igual que la vez pasada esto funciono solo por unas cuantas semanas, despues los profesores decidieron no darles mas oportunidades, sé pusieron muy estrictos con ellos, esto hizo que la mayoria de ellos se aplicara con respecto a sus trabajos.
Pero hubo un caso especial, Circunferencia no se aplico lo suficiente y a consecuencia de esto tuvo que hacer 2 extraordinarios, esto le sirvio de gran maner ya que entendio muchas cosas que durante clase no supo cómo se hacian gracias a que siempre estaban jugando.
Finalmente Circunferencia recupero sus materias y ahora esta cursando el 2° años, sus hermanos fueron separados de el y solo dejaron a radian en su mismo grupo ya que se dieron cuenta que un radian solo existe si tiene una circunferencia.
Creo que aprendio la leccion y ahora sera mas aplicado en todo lo que haga

FIN

Caleb Cortes Rodriguez 2° "C"

CUENTO DE MATEMATICAS 1

Cuento sobre lo que he aprendido en Matematicas

 

Estaba un alumno que era de 1° "B" y que de pronto por azares de la vida termino  en el 2° "C" debido a algunos cambio de estrategias, entonces este alumno no sabia que maestro hiria a tocar asi que fue el profesor Andreiv desde el primer dia muchos amgigos de aquel joven lloraban porque el profesor los haria sufrir pero el nunca se desanimo ya que sabia que todo en la vida es facil y que no por caprichos de los demas iban a cambiar de profesor entonces se propuso a seguir adelante y estudiar constantemente para poder obtener buenas calificaciones.

A el siempre le gustaron las matematicas pero existian veces que el no entendia nada a si que aveces reprobaba examenes.

Pero dejando eso atras empezo el segundo curso de matematicas es decir el segundo año deprepa, todo inicio con la llegada de los tt radianes y las conversiones de grados a minutos y de minutos a segundos asi mismo al contrario, inmediatamente el profe les dijo al grupo que todos deben llevar un diario donde redacten lo que aprendieron y lo que se les dificulto, a muchos chicos no les gusto eso ya que era todo muy complicado para ellos.

Pero a el chico no le importo lo que dijeran los demas y se concentro en tratar de mejorar sus calificaciones en la materia asi que ese joven estudio y estudio para poder comprender lo que la materia recurria.

Y ademas asistio a asesorias de matematicas para ser certeros fueron 4 asesorias donde comprendio que esta materia necesitaria el 100% de su capacidad mental y que seria mejor no pensar en distracciones y mientras que el profesor preocupado esperaba con ansias el regreso de Jessica el cual jamas ocurrio y ni ocurriria, por que ella estaba a

 

X² + 12 = 1800 Millas de Distancia

 

Entonces primero:

El profesor comenzo con lageometria Euclidiana .

Con su ya famoso y Tipico diablito, comenzo con la recta y punto, algunos creian que todo iba a ser facil porque los temas eran y se veian sencillos tal fue su angustia al llegar a angulos y todo se complico, comenzaron a ver angulos y triangulos, aque chavo se entusiasmo y le gustaron mucho los temas que trataron por ejemplo como se formaron los angulos y su nombre conforme a su medida.  Pero el momento de la verdad llego cuando vieron que las recta cortadas por una secante conforman angulos.                                                                                                                             Bueno paso eso y el chicose emocionaba cada vez mas por aprender y que mejor que los triangulos, conformados por sus 3 rectas unidas y sus angulos internos y externos.

Y despues:

Comenzo la congruencias, de triangulos donde decian que resolvieramos pequeños problemitas sobre que un Triangulo era congruente con otro triangulo y muchos les dio la expectativa de que si no aprendian nada reprobarian y no tendrian oportunidad de repetir nuevamente el examen asi que implemento una guia de estudio para ejercitar nuestra mente y no luego andar llorando con los chavos  mayores para que los ayudaran a contestar los problemas de Pitagoras.

Continuamos con los poligonos, sus elementos y cuales son convexos y concavos, su suma de  angulos y sus diagonales por vertices.

Por ultimo vieron cuadrilateros y todos los chavos se han asustado por lo que hemos visto no lo han aprendido el 100% y  este cuento esta apunto de culminar.

Pero antes hay que decir que traten de estudiar y resolver ejemplos de lo que estudia si es que no quieren terminar como los chavos que por no queres estudiar estan tan preocupados.

Mauricio Torres Rosas 2° "C"


CIRCUNFERENCIA

Definicion.
La circunferencia es el conjunto de los puntos en un plano que equidistan, es decir, que se hallan a la misma distancia de un punto fijo denominado centro.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

• Radio

Es cualquier segmento de recta en el que uno de sus extremos es el centro de una circunferencia y el otro es un punto cualquiera de la misma.

 

• Cuerda

Es cualquier segmento de recta cuyos extremos son puntos ue pertencen a la circunferencia.

• Diametro

Es una cuerda que contiene el centro de la circunferencia. La longitud de un diametro es el doble de la Longitud del radio.

• Secante

Es cualquier recta que corta una circunferencia en dos puntos.

 

 

 

• Tangente

Es cualquier Recta que contiene uno y solo uno de los puntos de la circunferencia, el cual se llama punto de tangencia. La recta y la Circunferencia son tangentes en ese punto.

• Arco

Si se eligen dos puntos de una circunferencia, estos limitan dos porciones cada una de las cuales se llama arco

 

 
 
 

CUADRILATEROS

                                 

Definicion:

Poligono de 4 lados

 

Clasificacion

Existen cuadrilateros Concavos y Convexos

 

EJEMPLOS DE CUADRILATEROS

 

• Paralelogramo

Es un cuadrilatero que tiene paralelos sus dos pares de lados opuestos

 

 

 

 

 

 

 

 

• Rombo

Es un paralelogramo equilatero, es decir, un paralelogramo cuyos cuatro lados son congruentes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• Rectangulo

Es un Paralelogramo cuyos cuatro angulos interiores son rectos. Si los cuatro lados de rectangulo son congruentes, entonces es un cuadrado.

 

• Trapecio

Cuadrilatero que tiene uno y solo uno de sus lados paralelos. Los lados paralelos suelen llamarse bases del trapecio. Si los lados no paralelos de un trapecio son congruentes, entonces se llama trapecio Isoceles.

 

 

 PROPIEDADES DE LOS CUADRILATEROS


1.- En un paralelogramo los pares de lados opuestos son congruentes.

2.- En un paralelogramo dos angulos consecutivos son suplementarios.

3.- En un paralelogramo los pares de angulos opuestos son congruentes. Los Angulos opuestos son los que tienen vertices que no pertenecen a un mismo lado. Estos se denominan vertices Opuestos

4.- Las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus puntos medios.

5.- Las diagonales de un rectangulo son congruentes.

6.- Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si.

7.- Las diagonales de un rombo son bisectrices de los angulos que unen.

8.- El perimetrode ( P ) de un rombo en funcion de sus diagonales se calcula con la formula   

9.- En un trapecio, dos angulos consecutivos queno tienen como lado comun una base son suplementarios

10.-En un trapecio Isoceles los angulos en una misma base son congruentes.

           

 

POLIGONOS

Definicion:
Se le llama poligono a aquella figura plana cerrada, delimitada por segmento de recta.
 
Clasificacion:
Los poligonos se clasifican de acuerdo con sus lados o la magnitud de sus angulos interiores.

POR SUS LADOS

• Regular: Tiene todos sus lados iguales
• Irregulares: Tiene la medida de sus lados diferentes

POR SUS ANGULOS

• Convexo: Los angulos interiores son todos menores que 180°
  
  
  
  
  
• Concavo: Uno de sus angulos interiores es mayor a 180°

 

 

ELEMENTOS DEL POLIGONO

• Vertice: Es el punto donde concurren 2 lados
• Angulo Interior: Es aquel que se forma con 2 lados adyacentes de un poligono
• Angulo Exterior: Aquel que se forma entre la prolongacion de uno de los lados y su lado adyacente
• Diagonal: Es el segmento de recta que une 2 vertices no adyacentes.

 

 

NUMERO DE DIAGONALES
El numero de diagonales en un poligono se obtendra en funcion del numero de lados

NUMERO DE DIAGONALES TRAZADAS DESDE UN MISMO VERTICE
En un poligono de n lados se puede trazar (n - 3) diagonales desde un solo vertice, por tanto la formula es:

d = n - 3                                                   d = diagonales trazadas desde un solo vertice
                                                                        n = Numero de Lados

NUMERO DE DIAGONALES TOTALES
El numero totales que se pueden trazar desde todos los vertices, tiene por formula:

                               D = diagonales totales del poligono
                               n  = numero de lados
 

 

ANGULOS DE UN POLIGONO

La magnitud de los diferentes angulos de un poligono se obtiene con las siguientes formulas:

 

• Suma de Angulos interiores de cualquier poligono

 

 

• Angulo Interior de un poligono regular

• Suma de angulos exteriores de cualquier poligono

• Angulo exterior de un Poligono

Donde n  = Numero de Lados.

 



 

TEOREMAS IMPORTANTES

Teorema de Tales.
Cuando en un triangulo se Traza una recta paralela a uno de los lados, el triangulo que se forma es semejante al primero.

 



 Teorema de Pitagoras

En todo triangulo rectangulo el cuadrado de la Hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

 

SEMEJANZA

Semejanza:
Dos triangulos son semejantes si tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño.

Lados Homologos:
Son aquellos cuyos angulos adyacentes son iguales.

Para indicar que 2 triángulos son semejantes se escribe

Δ ABC , Δ A’B’C’, donde el símbolo

 

TEOREMAS DE SEMEJANZA

 



Teorema 1.-

Dos triangulos son semejantes si tienen 2 angulos homologos

Teorema 2.-

Dos triangulos son semejantes si sus 3 lados son proporcionales.

 

Teorema 3.-

Dos triangulos son semejantes si tienen un angulo igual y los lados que los forman son proporcionales.



PROPORCIONES

La razón es la comparación de dos cantidades.

r = a/b

Una proporción es una igualdad de 2 razones.

 

a/b = c/d   o   a :b = c:d

Y se lee:

a es a b como c es a d.

Teoremas de proporciones

 

Teorema 1. En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Si a:b = c:d, entonces ad = bc

 

 

Teorema 2. En una proporción pueden intercambiarse el segundo y tercer términos, y se obtiene una proporción cierta.

Si a:b = c:d, entonces a:c = b:d

 

 

Teorema 3. En una proporción pueden invertirse las razones.

Si a:b = c:d, entonces b:a = d:c
 

TRIANGULOS CONGRUENTES

Triangulos Congruentes.
Son aquellos que tienen la misma forma y tamaño
Si 2 triangulos son Congruentes entonces:

•  Sus lados Homologos son iguales
• Sus angulos Homologos son Iguales

Esto se representa

 Triangulo ABC ≅  Triangulo  A’B’C’ y se lee:

“El triángulo ABC es congruente con el triángulo A’B’C’  "

 

 

TEOREMAS DE CONGRUENCIA

Teorema I.- (Lado, Lado, Lado)
Dos triangulos son congruentes si tienen sus lados iguales

 

Teorema 2.- (Angulo, Lado, Angulo)

Dos triangulos son congruentes si tienen 2 angulos iguales  y el lado adyacente a ellos respectivamente iguales.

 

Teorema 3.- (Lado, Angulo, Lado)

Dos triangulos son congruentes si tienen 2 lados y el angulo comprendido entre ellos son respectivamente iguales a sus homologos del otro.